Álgebra Ejemplos

What is an equation of the line that passes through the point $(4, 2)$ and is perpendicular to the line $4 x + 3 y = 21$ ?

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$(4, 2)$ , $4 x + 3 y = 21$

Paso 2

Resuelve $4 x + 3 y = 21$ .

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Paso 2.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = 21 - 4 x$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 y = 21 - 4 x$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 y = 21 - 4 x$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{21}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{21}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{21}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Divide $21$ por $3$ .

$y = 7 + \frac{- 4 x}{3}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 7 - \frac{4 x}{3}$

Paso 3

Obtén la pendiente cuando $y = 7 - \frac{4 x}{3}$ .

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Paso 3.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 3.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.1.2

Reordena $7$ y $- \frac{4 x}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 7$

Paso 3.1.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.1.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{3} x) + 7$

Paso 3.1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} x + 7$

Paso 3.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $- \frac{4}{3}$ .

$m = - \frac{4}{3}$

Paso 4

La ecuación de una perpendicular debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original.

$m_{perpendicular} = - \frac{1}{- \frac{4}{3}}$

Paso 5

Simplifica $- \frac{1}{- \frac{4}{3}}$ para obtener la pendiente de la perpendicular.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$m_{perpendicular} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{4}{3}}$

Paso 5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m_{perpendicular} = \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 5.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{4})$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{3}{4}$

Paso 5.4

Multiplica $- - \frac{3}{4}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$m_{perpendicular} = 1 (\frac{3}{4})$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$m_{perpendicular} = \frac{3}{4}$

Paso 6

Obtén la ecuación de la línea perpendicular con la fórmula de punto-pendiente.

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Paso 6.1

Usa la pendiente $\frac{3}{4}$ y un punto dado $(4, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Paso 6.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 7

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 7.1

Resuelve $y$

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Paso 7.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 7.1.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 7.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 7.1.1.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 4$

Paso 7.1.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Paso 7.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 7.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 2 = \frac{3 x}{4} + 3 \cdot - 1$

Paso 7.1.1.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y - 2 = \frac{3 x}{4} - 3$

Paso 7.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{4} - 3 + 2$

Paso 7.1.2.2

Suma $- 3$ y $2$ .

$y = \frac{3 x}{4} - 1$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{4} x - 1$

Paso 8