Álgebra Ejemplos

$P (x) = x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$

Paso 1

Establece $x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72$ igual a $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 18 x - 72 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$2 x^{3} + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 18 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 18 x + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $2 x$ de $18 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (9)$ .

$2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 72 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + u - 72 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} + u - 72$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 72$ y cuya suma es $1$ .

$- 8, 9$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 x (x^{2} + 9) + (u - 8) (u + 9) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} + 9$ de $2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 9$ de $2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} - 8) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} - 8) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} - 8)$ .

$(x^{2} + 9) (2 x + x^{2} - 8) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 9) (2 u + u^{2} - 8) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza $2 u + u^{2} - 8$ con el método AC.

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Paso 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 2.1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} + 9) ((u - 2) (u + 4)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 2.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 2.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 2.3.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 2.3.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 2.3.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 9) (x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3 i, - 3 i, 2, - 4$

Paso 3