Álgebra Ejemplos

$x^{8} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

${(x^{4})}^{2} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{4}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{4}$ .

$u^{2} - 26 u + 25 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 26 u + 25$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $25$ y cuya suma es $- 26$ .

$- 25, - 1$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 25) (u - 1) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4}$ .

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

$x^{4} - 1 = 0$

Paso 3

Establece $x^{4} - 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{4} - 25$ igual a $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{4} - 25 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 25$

Paso 3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{25}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt[4]{25}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{5^{2}}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\sqrt[4]{5^{2}}$ como $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ .

$x = \pm \sqrt{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 3.2.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 4

Establece $x^{4} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{4} - 1$ igual a $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{4} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 1$

Paso 4.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Paso 4.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 4.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 4.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 4.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Forma decimal:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1, - 1$

Paso 7