Álgebra Ejemplos

$y = x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$

Paso 1

Establece $x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2$ igual a $0$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} - x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x - x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x - 1) + x^{2} + x - 2 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x - 1$ de $x^{3} (x - 1) + (x - 1) (x + 2)$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $x - 1$ de $x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.1.4.2

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{3} + x + 2) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $x^{3} + x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.5.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.5.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.5.1.3

Sustituye $- 1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.5.1.3.1

Sustituye $- 1$ en el polinomio.

${(- 1)}^{3} - 1 + 2$

Paso 2.1.5.1.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 - 1 + 2$

Paso 2.1.5.1.3.3

Resta $1$ de $- 1$ .

$- 2 + 2$

Paso 2.1.5.1.3.4

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 2.1.5.1.4

Como $- 1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + x + 2}{x + 1}$

Paso 2.1.5.1.5

Divide $x^{3} + x + 2$ por $x + 1$ .

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Paso 2.1.5.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Paso 2.1.5.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Paso 2.1.5.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 2.1.5.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Paso 2.1.5.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.5.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.5.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.5.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Paso 2.1.5.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 2.1.5.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - x + 2$

Paso 2.1.5.1.6

Escribe $x^{3} + x + 2$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 2)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - x + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $8$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 3