Álgebra Ejemplos

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

Paso 1

Establece $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ igual a $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- x^{3}$ de $- x^{4} + x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- x^{3}$ de $- x^{4}$ .

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- x^{3}$ de $x^{3}$ .

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- x^{3}$ de $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ y cuya suma es $b = - 41$ .

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Paso 2.1.3.1.1

Factoriza $- 41$ de $- 41 x$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe $- 41$ como $- 20$ más $- 21$

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Paso 2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Paso 2.1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

Paso 2.1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x - 1$ de $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $x - 1$ de $- x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.4.2

Factoriza $x - 1$ de $(21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

Paso 2.1.4.3

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ .

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Reescribe $- x^{3} + 21 x - 20$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.5.1.1

Factoriza $- x^{3} + 21 x - 20$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.5.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.5.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Paso 2.1.5.1.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.5.1.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

Paso 2.1.5.1.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Paso 2.1.5.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Paso 2.1.5.1.1.3.4

Multiplica $21$ por $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Paso 2.1.5.1.1.3.5

Suma $- 1$ y $21$ .

$20 - 20$

Paso 2.1.5.1.1.3.6

Resta $20$ de $20$ .

$0$

Paso 2.1.5.1.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

Paso 2.1.5.1.1.5

Divide $- x^{3} + 21 x - 20$ por $x - 1$ .

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Paso 2.1.5.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 2.1.5.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Paso 2.1.5.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Paso 2.1.5.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.5.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 2.1.5.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Paso 2.1.5.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $20 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $20 x - 20$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Paso 2.1.5.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Paso 2.1.5.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} - x + 20$

Paso 2.1.5.1.1.6

Escribe $- x^{3} + 21 x - 20$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.5.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.5.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.5.1.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.1.1.2

Reescribe $- 1$ como $4$ más $- 5$

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.5.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

Paso 2.1.5.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 2.1.6

Combina exponentes.

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Paso 2.1.6.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 2.1.6.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 2.1.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 2.1.6.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 2.3

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.4

Establece $- x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- x + 4$ igual a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 2.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, 4, - 5$

Paso 3