Álgebra Ejemplos

2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Paso 1

Sustituye

u = x^{2}

$u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

u = x^{2}

$u = x^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es

a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8

$a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ y cuya suma es

b = - 9

$b = - 9$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza

- 9

$- 9$ de

- 9 u

$- 9 u$ .

2 u^{2} - 9 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 9 u + 4 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe

- 9

$- 9$ como

- 1

$- 1$ más

- 8

$- 8$

2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0

$2 u^{2} + (- 1 - 8) u + 4 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 1 u - 8 u + 4 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0

$(2 u^{2} - 1 u) - 8 u + 4 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0

$u (2 u - 1) - 4 (2 u - 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

2 u - 1

$2 u - 1$ .

(2 u - 1) (u - 4) = 0

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

(2 u - 1) (u - 4) = 0

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

0

$0$ , la expresión completa será igual a

0

$0$ .

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$

u - 4 = 0

$u - 4 = 0$

Paso 4

Establece

2 u - 1

$2 u - 1$ igual a

0

$0$ y resuelve

u

$u$ .

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Paso 4.1

Establece

2 u - 1

$2 u - 1$ igual a

0

$0$ .

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve

2 u - 1 = 0

$2 u - 1 = 0$ en

u

$u$ .

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Paso 4.2.1

Suma

1

$1$ a ambos lados de la ecuación.

2 u = 1

$2 u = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en

2 u = 1

$2 u = 1$ por

2

$2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en

2 u = 1

$2 u = 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de

2

$2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide

$u$ por

$1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece

$u - 4$ igual a

$0$ y resuelve

$u$ .

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Paso 5.1

Establece

$u - 4$ igual a

$0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 5.2

Suma

$4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(2 u - 1) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, 4$

Paso 7

Sustituye el valor real de

$u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para

$x$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en

$x$ .

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Paso 9.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 9.2

Simplifica

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 9.2.1

Reescribe

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.2.2

Cualquier raíz de

$1$ es

$1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 9.2.3

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.2.4.1

Multiplica

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.2.4.2

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.2.4.3

Eleva

$\sqrt{2}$ a la potencia de

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.2.4.4

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.4.5

Suma

$1$ y

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.2.4.6

Reescribe

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

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Paso 9.2.4.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.4.6.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 9.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para

$x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 11

Resuelve la ecuación en

$x$ .

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 4$

Paso 11.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 11.3

Simplifica

$\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 11.3.1

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 11.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 12

La solución a

$2 x^{4} - 9 x^{2} + 4 = 0$ es

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2, - 2$

Forma decimal:

$x = 0.70710678 \dots, - 0.70710678 \dots, 2, - 2$

Paso 14