Álgebra Ejemplos

$F (X) = x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$

Paso 1

Establece $x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$ igual a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- 3 x$ de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- 3 x$ de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 11 u + 10 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} - 11 u + 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $10$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 10, - 1$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 10) (u - 1) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10) = 0$

Paso 2.1.11.3

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 10) = 0$

Paso 2.1.12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 u + u^{2} - 10) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $- 3 u + u^{2} - 10$ con el método AC.

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Paso 2.1.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 2.1.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 5) (u + 2)) = 0$

Paso 2.1.14

Factoriza.

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Paso 2.1.14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1, 5, - 2$

Paso 3