Álgebra Ejemplos

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$

Paso 1

Establece $x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8$ igual a $0$ .

$x^{5} + x^{3} + 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{5} + x^{3}) + 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (x^{2} + 1) + 8 (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{3} + 8) = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 2.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 2 x + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Paso 3