Álgebra Ejemplos

$(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2)$

Paso 1

Establece $(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2)$ igual a $0$ .

$(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 2.2.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.2.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 9 \cdot 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 + 2 \cdot 4 - 9 \cdot 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 + 8 - 9 \cdot 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.5

Suma $8$ y $8$ .

$16 - 9 \cdot 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.6

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$16 - 18 + 2$

Paso 2.2.1.3.7

Resta $18$ de $16$ .

$- 2 + 2$

Paso 2.2.1.3.8

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 2.2.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2}{x - 2}$

Paso 2.2.1.5

Divide $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ por $x - 2$ .

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Paso 2.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$9 x$

$2$

Paso 2.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$

Paso 2.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Paso 2.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 2.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 2.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Paso 2.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} - 8 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Paso 2.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$

Paso 2.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$

Paso 2.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$

Paso 2.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Paso 2.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Paso 2.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Paso 2.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 4 x - 1$

Paso 2.2.1.6

Escribe $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} + 4 x - 1) = 0$

Paso 2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Paso 2.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.2.4

Establece $x^{2} + 4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $x^{2} + 4 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.2.4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 2.2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 2.2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Paso 2.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x^{2} + 4 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Paso 2.3

Excluye las soluciones que no hagan que $(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x + 2) \div (x - 2) = 0$ sea verdadera.

$x = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - 2 \pm \sqrt{5}$

Forma decimal:

$x = 0.23606797 \dots, - 4.23606797 \dots$

Paso 4