Álgebra Ejemplos

$5^{x} - 5^{5 - x} = 150$

Paso 1

Reescribe $5^{5 - x}$ como $5^{5} \cdot 5^{- x}$ .

$5^{x} - (5^{5} \cdot 5^{- x}) = 150$

Paso 2

Reescribe $5^{- x}$ como exponenciación.

$5^{x} - (5^{5} \cdot {(5^{x})}^{- 1}) = 150$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

$5^{x} - 5^{5} {(5^{x})}^{- 1} = 150$

Paso 4

Sustituye $u$ por $5^{x}$ .

$u - 5^{5} u^{- 1} = 150$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$u - 1 \cdot (3125 u^{- 1}) = 150$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $3125$ .

$u - 3125 u^{- 1} = 150$

Paso 5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3125 \frac{1}{u} = 150$

Paso 5.4

Combina $- 3125$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 3125}{u} = 150$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u - \frac{3125}{u} = 150$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 6.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 6.2

Multiplica cada término en $u - \frac{3125}{u} = 150$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{3125}{u} = 150$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3125}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Paso 6.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Paso 6.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 3125 = 150 u$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.3.1

Resta $150 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 3125 - 150 u = 0$

Paso 6.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 150$ y $c = - 3125$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{150 \pm \sqrt{{(- 150)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3125)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4

Simplifica.

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Paso 6.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.1.1

Eleva $- 150$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot 1 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 3125$ .

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Paso 6.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 3125$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 + 12500}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.3

Suma $22500$ y $12500$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{35000}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.4

Reescribe $35000$ como $50^{2} \cdot 14$ .

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Paso 6.3.4.1.4.1

Factoriza $2500$ de $35000$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{2500 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.4.2

Reescribe $2500$ como $50^{2}$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{50^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$

Paso 6.3.4.3

Simplifica $\frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 75 \pm 25 \sqrt{14}$

Paso 6.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 75 + 25 \sqrt{14}, 75 - 25 \sqrt{14}$

Paso 7

Sustituye $75 + 25 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Paso 8

Resuelve $75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Paso 8.3

Expande $\ln (5^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Paso 8.4

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ por $\ln (5)$ y simplifica.

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Paso 8.4.1

Divide cada término en $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ por $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Paso 8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Paso 9

Sustituye $75 - 25 \sqrt{14}$ por $u$ en $u = 5^{x}$ .

$75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Paso 10

Resuelve $75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$ .

$5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Paso 10.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 - 25 \sqrt{14})$

Paso 10.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (75 - 25 \sqrt{14})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 10.4

No hay soluciones para $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

No hay solución

Paso 11

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 3.18569705 \dots$

Paso 13