Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 2, 2 - x$

Paso 1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.4

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.5

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.6

El factor para $2 - x$ es $2 - x$ en sí mismo.

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.7

El MCM de $x - 2, 2 - x$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - 2) (2 - x)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ por $(x - 2) (2 - x)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ por $(x - 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} (2 - x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.1

Mueve $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.2.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2 - x$ de $(x - 2) (2 - x)$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (- 7 x + 6) (x - 2)$

Paso 2.3.2

Expande $(- 7 x + 6) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x (x - 2) + 6 (x - 2)$

Paso 2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)$

Paso 2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Paso 2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Paso 2.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x + 6 \cdot - 2$

Paso 2.3.3.1.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x - 12$

Paso 2.3.3.2

Suma $14 x$ y $6 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $7 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Paso 3.1.2

Resta $20 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Paso 3.1.3

Suma $4 x^{2}$ y $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Paso 3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 3.3.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 3.3.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Paso 3.3.1.3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.3.1.3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.5

Multiplica $11$ por $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.6

Suma $- 16$ y $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Paso 3.3.1.3.7

Multiplica $- 20$ por $2$ .

$28 - 40 + 12$

Paso 3.3.1.3.8

Resta $40$ de $28$ .

$- 12 + 12$

Paso 3.3.1.3.9

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

Paso 3.3.1.4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Paso 3.3.1.5

Divide $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ por $x - 2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Paso 3.3.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 3.3.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 3.3.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Paso 3.3.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 3.3.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 3.3.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Paso 3.3.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{2} - 14 x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Paso 3.3.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Paso 3.3.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 3.3.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 3.3.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Paso 3.3.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x + 12$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Paso 3.3.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Paso 3.3.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Paso 3.3.1.6

Escribe $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Paso 3.3.2.1.1.2

Reescribe $7$ como $3$ más $4$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Paso 3.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Paso 3.3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Paso 3.3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Paso 3.3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.6

Establece $- 2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $- 2 x + 3$ igual a $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $- 2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 3$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ sea verdadera.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 5