Álgebra Ejemplos

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Paso 1

Establece $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ igual a $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(2 x + 3) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $- 4 x$ y $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Paso 2.3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Paso 2.3.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resta $1$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Paso 2.3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3.5

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 1$ y $c = - 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Paso 2.3.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.6.1.3

Suma $1$ y $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Paso 2.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Paso 2.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Forma decimal:

$x = 2.13745860 \dots$

Paso 4