Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x + 2} = 2 x + 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 2}}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 2)}^{1} = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x + 2 = {(2 x + 1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 x + 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$x + 2 = (2 x + 1) (2 x + 1)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 x + 1) (2 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = 2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x + 2 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$x + 2 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 2 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$x + 2 = 4 x^{2} + 4 x + 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} + 4 x + 1 = x + 2$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 4 x + 1 - x = 2$

Paso 3.2.2

Resta $x$ de $4 x$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 2$

Paso 3.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 3 x + 1 - 2 = 0$

Paso 3.4

Resta $2$ de $1$ .

$4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Paso 3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$4 x^{2} + 3 (x) - 1 = 0$

Paso 3.5.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$4 x^{2} + (- 1 + 4) x - 1 = 0$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 1 x + 4 x - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} - 1 x) + 4 x - 1 = 0$

Paso 3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) = 0$

Paso 3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.7

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 3.7.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{x + 2} = 2 x + 1$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$x = 0.25$