Álgebra Ejemplos

$n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $n^{\frac{1}{2}}$ como ${(n^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(n^{\frac{1}{4}})}^{2} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = n^{\frac{1}{4}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $n^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} + 6 u - 16 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + 6 u - 16$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $6$ .

$- 2, 8$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 8) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $n^{\frac{1}{4}}$ .

$(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Paso 3

Establece $n^{\frac{1}{4}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 3.1

Establece $n^{\frac{1}{4}} - 2$ igual a $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $n^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ en $n$ .

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$n^{\frac{1}{4}} = 2$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = 2^{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 2^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$n^{1} = 2^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$n = 2^{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$n = 16$

Paso 4

Establece $n^{\frac{1}{4}} + 8$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 4.1

Establece $n^{\frac{1}{4}} + 8$ igual a $0$ .

$n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $n^{\frac{1}{4}} + 8 = 0$ en $n$ .

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Paso 4.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$n^{\frac{1}{4}} = - 8$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(n^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 8)}^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(n^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$n^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 8)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$n^{1} = {(- 8)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$n = {(- 8)}^{4}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $4$ .

$n = 4096$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(n^{\frac{1}{4}} - 2) (n^{\frac{1}{4}} + 8) = 0$ verdadera.

$n = 16, 4096$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $n^{\frac{1}{2}} + 6 n^{\frac{1}{4}} - 16 = 0$ sea verdadera.

$n = 16$