Álgebra Ejemplos

$x + 4 < \frac{5}{x}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$(x + 4) x = \frac{5}{x} x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Simplifica $(x + 4) x$ .

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Paso 2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + 4 x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 4 x = 5$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) (x + 5) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 5$

Paso 4

Obtén el dominio de $x + 4 - \frac{5}{x}$ .

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{5}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$(- 8) + 4 < \frac{5}{- 8}$

Paso 6.1.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $- 0.625$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$(- 2) + 4 < \frac{5}{- 2}$

Paso 6.2.3

$2$ del lado izquierdo no es menor que $- 2.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$(0.5) + 4 < \frac{5}{0.5}$

Paso 6.3.3

$4.5$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$(4) + 4 < \frac{5}{4}$

Paso 6.4.3

$8$ del lado izquierdo no es menor que $1.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 5$ o $0 < x < 1$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 5 or 0 < x < 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (0, 1)$

Paso 9