Álgebra Ejemplos

$(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Paso 1

Expande $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.5

Multiplica $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Paso 2.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 - 3 \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.7

Multiplica $5$ por $3$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Paso 2.1.8

Multiplica $\sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Paso 2.1.8.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Paso 2.1.8.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Paso 2.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{2}$

Paso 2.1.9

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{1}$

Paso 2.1.9.5

Evalúa el exponente.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5$

Paso 2.1.10

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 15$

Paso 2.2

Resta $15$ de $3$ .

$- 12 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15}$

Paso 2.3

Suma $- 3 \sqrt{15}$ y $\sqrt{15}$ .

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Forma decimal:

$- 19.74596669 \dots$