Álgebra Ejemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ como una ecuación.

$y = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y - 1 + 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$ .

$\sqrt[3]{y - 1 + 4} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y - 1 + 4}}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y - 1 + 4}$ como ${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y - 1 + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y - 1 + 4)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Suma $- 1$ y $4$ .

${(y + 3)}^{1} = x^{3}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica.

$y + 3 = x^{3}$

Paso 3.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{3} - 3$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(\sqrt[3]{x - 1 + 4})}^{3} - 3$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {\sqrt[3]{x + 3}}^{3} - 3$

Paso 5.2.3.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 3}}^{3}$ como $x + 3$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 3$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 3$

Paso 5.2.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Paso 5.2.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} - 3$

Paso 5.2.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = (x + 3) - 3$

Paso 5.2.3.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 3 - 3$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 1 + 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{3} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{(x^{3} - 3) - 1 + 4}$

Paso 5.3.3

Resta $1$ de $- 3$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} - 4 + 4}$

Paso 5.3.4

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Paso 5.3.5

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$f (x^{3} - 3) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 5.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} - 3) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x - 1 + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3$