Álgebra Ejemplos

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 1

Usa la forma $a \cos (b x - c) + d$ para obtener las variables utilizadas para obtener la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Paso 2

Obtén la amplitud $| a |$ .

Amplitud: $1$

Paso 3

Obtén el período con la fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Paso 3.1

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

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Paso 3.1.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.1.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Paso 3.1.3

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Paso 3.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 4$

Paso 3.1.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 π$

Paso 3.2

Obtén el período de $- 2$ .

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Paso 3.2.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{4}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Paso 3.2.3

$\frac{1}{4}$ es aproximadamente $0.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Paso 3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 4$

Paso 3.2.5

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 π$

Paso 3.3

El período de la suma/resta de las funciones trigonométricas es el máximo de los períodos individuales.

$8 π$

Paso 4

Obtén el desfase con la fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Paso 4.1

El desfase de la función puede calcularse a partir de $\frac{c}{b}$ .

Desfase: $\frac{c}{b}$

Paso 4.2

Reemplaza los valores de $c$ y $b$ en la ecuación para el desfase.

Desfase: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

Desfase: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

Desfase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

Desfase: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

Desfase: $- π$

Paso 5

Enumera las propiedades de la función trigonométrica.

Amplitud: $1$

Período: $8 π$

Desfase: $- π$ ( $π$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $- 2$

Paso 6

Selecciona algunos puntos para la gráfica.

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Paso 6.1

Obtén el punto en $x = - π$ .

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Paso 6.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- π$ en la expresión.

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 6.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

Paso 6.1.2.1.2

Suma $- π$ y $π$ .

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

Paso 6.1.2.1.3

Divide $0$ por $4$ .

$f (- π) = \cos (0) - 2$

Paso 6.1.2.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (- π) = 1 - 2$

Paso 6.1.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (- π) = - 1$

Paso 6.1.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6.2

Obtén el punto en $x = π$ .

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Paso 6.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 6.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

Paso 6.2.2.1.2

Suma $π$ y $π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

Paso 6.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 6.2.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

Paso 6.2.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Paso 6.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Paso 6.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Paso 6.2.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (π) = 0 - 2$

Paso 6.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (π) = - 2$

Paso 6.2.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.3

Obtén el punto en $x = 3 π$ .

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Paso 6.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3 π$ en la expresión.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 6.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

Paso 6.3.2.1.2

Suma $3 π$ y $π$ .

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Paso 6.3.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Paso 6.3.2.1.3.2

Divide $π$ por $1$ .

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

Paso 6.3.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

Paso 6.3.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

Paso 6.3.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (3 π) = - 1 - 2$

Paso 6.3.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

Paso 6.3.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.4

Obtén el punto en $x = 5 π$ .

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Paso 6.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $5 π$ en la expresión.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 6.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

Paso 6.4.2.1.2

Suma $5 π$ y $π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

Paso 6.4.2.1.3

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 6.4.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $6 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

Paso 6.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

Paso 6.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

Paso 6.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Paso 6.4.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Paso 6.4.2.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (5 π) = 0 - 2$

Paso 6.4.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f (5 π) = - 2$

Paso 6.4.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 6.5

Obtén el punto en $x = 7 π$ .

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Paso 6.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $7 π$ en la expresión.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Paso 6.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

Paso 6.5.2.1.2

Suma $7 π$ y $π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

Paso 6.5.2.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 6.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $8 π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

Paso 6.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

Paso 6.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

Paso 6.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

Paso 6.5.2.1.3.2.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

Paso 6.5.2.1.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

Paso 6.5.2.1.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (7 π) = 1 - 2$

Paso 6.5.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$f (7 π) = - 1$

Paso 6.5.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6.6

Enumera los puntos en una tabla.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Paso 7

La función trigonométrica puede representarse de forma gráfica con la amplitud, el período, el desfase, el desplazamiento vertical y los puntos.

Amplitud: $1$

Período: $8 π$

Desfase: $- π$ ( $π$ a la izquierda)

Desplazamiento vertical: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Paso 8