Álgebra Ejemplos

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $x = 256^{\frac{1}{4}}$ .

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Paso 2.2.2

Simplifica $256^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 2.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe $256$ como $4^{4}$ .

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Paso 2.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 2.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 4^{1}$

Paso 2.2.2.3

Evalúa el exponente.

$x = 4$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{256} (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Paso 5.2.3

$0.125$ del lado izquierdo es menor que $0.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Paso 5.3.3

$0.32312031$ del lado izquierdo no es menor que $0.25$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 4$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 4$

Notación de intervalo:

$(0, 4)$

Paso 8