Álgebra Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[- 7, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $[- 7, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq - 7$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Paso 2.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.2.4

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 8$ y $c = 1 - x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.6

Resta $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.7

Factoriza $8$ de $56 + 8 x$ .

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Paso 2.2.5.1.7.1

Factoriza $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.7.2

Factoriza $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.8

Reescribe $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

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Paso 2.2.5.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.6

Resta $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.7

Factoriza $8$ de $56 + 8 x$ .

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Paso 2.2.6.1.7.1

Factoriza $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.7.2

Factoriza $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.8

Reescribe $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

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Paso 2.2.6.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Paso 2.2.6.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.6

Resta $8$ de $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.7

Factoriza $8$ de $56 + 8 x$ .

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Paso 2.2.7.1.7.1

Factoriza $8$ de $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.7.2

Factoriza $8$ de $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.8

Reescribe $8 (7 + x)$ como $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

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Paso 2.2.7.1.8.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 2.2.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Paso 2.2.7.3

Simplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Paso 4