Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 1, x, 20$

Paso 1.2

Como $x + 1, x, 20$ contiene tanto números como variables, hay cuatro pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para las partes numérica, variable y variable compuesta. Luego, multiplícalos.

Los pasos para obtener el MCM para $x + 1, x, 20$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 20$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $x + 1$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

Los factores primos para $20$ son $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Paso 1.5.1

$20$ tiene factores de $2$ y $10$ .

$2 \cdot 10$

Paso 1.5.2

$10$ tiene factores de $2$ y $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Paso 1.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Paso 1.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 5$

Paso 1.6.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$20$

Paso 1.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 1.9

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.10

El MCM de $x + 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x + 1$

Paso 1.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$20 x (x + 1)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ por $20 x (x + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ por $20 x (x + 1)$ .

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.2

Combina $20$ y $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $x + 1$ de $x (x + 1)$ .

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x - 1}{x}$ al numerador.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.8.2

Factoriza $x$ de $20 x (x + 1)$ .

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.9

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.11

Multiplica $- 20$ por $- 1$ .

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.12

Expande $(- 20 x + 20) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.13.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.13.1.1.1

Mueve $x$ .

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13.1.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13.1.3

Multiplica $20$ por $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13.2

Suma $- 20 x$ y $20 x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.1.13.3

Suma $- 20 x^{2}$ y $0$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.2.1

Resta $20 x^{2}$ de $20 x^{2}$ .

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.2.2.2

Suma $0$ y $20$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $20$ de $20 x (x + 1)$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común.

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Paso 2.3.1.3

Reescribe la expresión.

$20 = x (x + 1)$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$20 = x^{2} + x$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + x = 20$ .

$x^{2} + x = 20$

Paso 3.2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 3.6

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 5$