Álgebra Ejemplos

$x \geq \frac{2}{x + 1}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{x + 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2

Simplifica $x - \frac{2}{x + 1}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x + 1) - 2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 1} \geq 0$

Paso 2.3.4

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 2.3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 2, - 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$- 4 \geq \frac{2}{(- 4) + 1}$

Paso 11.1.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $- 0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1.5$ en la desigualdad original.

$- 1.5 \geq \frac{2}{(- 1.5) + 1}$

Paso 11.2.3

$- 1.5$ del lado izquierdo es mayor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$0 \geq \frac{2}{(0) + 1}$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$4 \geq \frac{2}{(4) + 1}$

Paso 11.4.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0.4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 2 \leq x < - 1$ o $x \geq 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 2 \leq x < - 1 or x \geq 1$

Notación de intervalo:

$[- 2, - 1) \cup [1, \infty)$

Paso 14