Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x + 1} \leq \frac{3}{x - 1}$

Paso 1

Resta $\frac{3}{x - 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{2}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{3}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \leq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x - 1) - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.5

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x - 2 - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.5.6

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{- x - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.7

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (x) - 1 (5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{- 1 (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 5$

$x = - 1$

$x = 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = - 5, - 1, 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 9.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(- 8) + 1} \leq \frac{3}{(- 8) - 1}$

Paso 11.1.3

$- 0.\overline{285714}$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(- 3) + 1} \leq \frac{3}{(- 3) - 1}$

Paso 11.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $- 0.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(0) + 1} \leq \frac{3}{(0) - 1}$

Paso 11.3.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $- 3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{3}{(4) - 1}$

Paso 11.4.3

$0.4$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 5 \leq x < - 1$ o $x > 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 5 \leq x < - 1 or x > 1$

Notación de intervalo:

$[- 5, - 1) \cup (1, \infty)$

Paso 14