Álgebra Ejemplos

$\sin (x) \leq \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x \leq \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x \leq \frac{π}{6}$

Paso 3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\sin (2) \leq \frac{1}{2}$

Paso 8.1.3

$0.90929742$ del lado izquierdo es mayor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sin (5) \leq \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

$- 0.95892427$ del lado izquierdo es menor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\sin (8) \leq \frac{1}{2}$

Paso 8.3.3

$0.98935824$ del lado izquierdo es mayor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Verdadero

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Verdadero

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10