Álgebra Ejemplos

$y = - \sqrt{x + 3}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - \sqrt{y + 3}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \sqrt{y + 3} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $- \sqrt{y + 3} = x$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- \sqrt{y + 3} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 3}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sqrt{y + 3}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Divide $\sqrt{y + 3}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{- 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 3} = - 1 \cdot x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{y + 3} = - x$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 3}$ como ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 3)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 3 = {(- x)}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(- x)}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y + 3 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Paso 2.4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y + 3 = 1 x^{2}$

Paso 2.4.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y + 3 = x^{2}$

Paso 2.5

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 3$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \sqrt{x + 3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Paso 4.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = 1 {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Paso 4.2.3.3

Multiplica ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Paso 4.2.3.4

Reescribe ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ como $x + 3$ .

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Paso 4.2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 3}$ como ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

Paso 4.2.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

Paso 4.2.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Paso 4.2.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Paso 4.2.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Paso 4.2.3.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{(x^{2} - 3) + 3}$

Paso 4.3.3

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 4.3.4

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2}}$

Paso 4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 3) = - x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$