Álgebra Ejemplos

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (6)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (6)$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$ por $6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$ por $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 2 \log_{b} (8) \cdot 2 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \log_{b} (9) \cdot 3 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $\log_{b} (9)$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + 3 \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $6 \log_{b} (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = 4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Simplifica $4 \log_{b} (8)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (8^{4}) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.3

Simplifica $3 \log_{b} (9)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (9^{3}) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.4

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - 6 \log_{b} (6)$

Paso 4.1.1.5

Simplifica $- 6 \log_{b} (6)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - \log_{b} (6^{6})$

Paso 4.1.1.6

Eleva $6$ a la potencia de $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - \log_{b} (46656)$

Paso 4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096 \cdot 729) - \log_{b} (46656)$

Paso 4.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{46656})$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $4096$ y $46656$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $64$ de $4096 \cdot 729$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{46656})$

Paso 4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $64$ de $46656$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{64 (729)})$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{64 \cdot 729})$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 729}{729})$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de $729$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 729}{729})$

Paso 4.1.5.2

Divide $64$ por $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Paso 5

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$x^{6} = 64$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $64$ como $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$