Álgebra Ejemplos

${(x + 3)}^{\frac{2}{5}} - 7 {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} + 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 3)}^{\frac{2}{5}}$ como ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{2} - 7 {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} + 12 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = {(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 7 u + 12$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}}$ .

$({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4) ({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$

Paso 3

Establece ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Paso 3.2

Resuelve ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} = 4$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 3)}^{1} = 4^{5}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 3 = 4^{5}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$x + 3 = 1024$

Paso 3.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 1024 - 3$

Paso 3.2.4.2

Resta $3$ de $1024$ .

$x = 1021$

Paso 4

Establece ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve ${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5}} = 3$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 3^{5}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 3)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 3^{5}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 3)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 3^{5}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 3)}^{1} = 3^{5}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x + 3 = 3^{5}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$x + 3 = 243$

Paso 4.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 243 - 3$

Paso 4.2.4.2

Resta $3$ de $243$ .

$x = 240$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 4) ({(x + 3)}^{\frac{1}{5}} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 1021, 240$