Álgebra Ejemplos

$y = - 2 \sqrt{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $- 2 \sqrt{y} = x$ .

$- 2 \sqrt{y} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 2 \sqrt{y} = x$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sqrt{y} = x$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{y} = - \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(- \frac{x}{2})}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = 1 \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.4.3.1.3

Multiplica $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.4.3.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ es la inversa de $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 2 \sqrt{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2 \sqrt{x})}^{2}}{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Paso 4.2.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Paso 4.2.3.3

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 4.2.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 4.2.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 4.2.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 4.2.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.3.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \frac{x}{2}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 (- 1) (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2})$

Paso 4.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 1 x$

Paso 4.3.8

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ es la inversa de $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$