Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - x - 6}{2 x^{2} + x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - x - 6$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + 1 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2.1.2

Reescribe $1$ como $- 3$ más $4$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} + (- 3 + 4) x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{2 x^{2} - 3 x + 4 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x^{2} - 3 x) + 4 x - 6} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{x (2 x - 3) + 2 (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 18 = - 36$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + 9 (x) - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 3.1.2

Reescribe $9$ como $- 3$ más $12$

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 12) x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 12 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 12 x - 18}{x^{2} - 9}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 6 (2 x - 3)}{x^{2} - 9}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{x^{2} - 9}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x - 3$ de $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) (x + 2)}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 3)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{x + 3}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2 x - 3$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2}{(2 x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 6)}{x + 3}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{x + 2} \cdot \frac{x + 6}{x + 3}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{x + 2}{x + 2}$ por $\frac{x + 6}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) (x + 6)}{(x + 2) (x + 3)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 6}{x + 3}$