Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 1.3

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.4.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 1.4.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

Paso 1.4.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

Paso 1.6

Resta $5$ de $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

Paso 1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = - \frac{2}{15} x$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- \frac{2}{15} x$ .

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Paso 3.2.1.1

Combina $x$ y $\frac{2}{15}$ .

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

Paso 3.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$1 = - \frac{2 x}{15}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{2 x}{15} = 1$ .

$- \frac{2 x}{15} = 1$

Paso 4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 4.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{2}$ al numerador.

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 x}{15}$ al numerador.

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.1.3

Factoriza $15$ de $- 15$ .

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = - \frac{15}{2}$

Paso 5

Obtén el dominio de $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

Paso 7

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 7.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{15}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{15}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 7.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Paso 7.1.3

$0.2\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $0.2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{15}{2} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{15}{2} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 7.2.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Paso 7.2.3

$0.08\overline{3}$ del lado izquierdo es menor que $0.2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 7.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 7.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 7.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Paso 7.3.3

$0.8\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $0.2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 7.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{15}{2}$ Falso

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{15}{2}$ Falso

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 8

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \frac{15}{2}, 0)$

Paso 10