Álgebra Ejemplos

${(\sqrt{3})}^{10 k} = 81^{k + 3}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{10 k} = 81^{k + 3}$

Paso 2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} (10 k)} = 81^{k + 3}$

Paso 3

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{\frac{1}{2} (10 k)} = 3^{4 (k + 3)}$

Paso 4

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$\frac{1}{2} (10 k) = 4 (k + 3)$

Paso 5

Resuelve $k$

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Paso 5.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (10 k)$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (10 k) = 4 (k + 3)$

Paso 5.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{1}{2} \cdot (10 k) = 4 (k + 3)$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.3.1

Factoriza $2$ de $10 k$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (5 k)) = 4 (k + 3)$

Paso 5.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (5 k)) = 4 (k + 3)$

Paso 5.1.3.3

Reescribe la expresión.

$5 k = 4 (k + 3)$

Paso 5.2

Simplifica $4 (k + 3)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 k = 4 k + 4 \cdot 3$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$5 k = 4 k + 12$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan $k$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $4 k$ de ambos lados de la ecuación.

$5 k - 4 k = 12$

Paso 5.3.2

Resta $4 k$ de $5 k$ .

$k = 12$