Álgebra Ejemplos

$\cos (x) \leq - \frac{1}{2}$

Paso 1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x \leq \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x \leq \frac{2 π}{3}$

Paso 3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 4

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 4.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\cos (3) \leq - \frac{1}{2}$

Paso 8.1.3

$- 0.98999249$ del lado izquierdo es menor que $- 0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\cos (6) \leq - \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

$0.96017028$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Falso

$\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ Verdadero

$\frac{4 π}{3} < x < \frac{8 π}{3}$ Falso

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{2 π}{3} + 2 π n \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10