Álgebra Ejemplos

$\cot (x) = 1$ , $π \leq x \leq \frac{3 π}{2}$

Paso 1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

El valor exacto de $arccot (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[π, \frac{3 π}{2}]$ .

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Paso 8.1

Inserta $1$ en $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Paso 8.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Paso 8.2.3

Combina fracciones.

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Paso 8.2.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Paso 8.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Paso 8.2.4.2

Suma $π$ y $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Paso 8.3

El intervalo $[π, \frac{3 π}{2}]$ contiene $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4}$