Álgebra Ejemplos

$\frac{4 r}{r^{2} - 1} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{r^{2} - 1^{2}} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 r = 2 \cdot r \cdot 1$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = r$ y $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ por $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) (r - 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4.2

Eleva $r - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} (r - 1))} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4.3

Eleva $r - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} {(r - 1)}^{1})} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{1 + 1}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ por $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 r (r - 1) - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 r \cdot r + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{4 (r \cdot r) + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{4 r^{2} + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.7

Expande $(- 3 r - 1) (r + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r (r + 1) - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.1.1.1

Mueve $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8.1.3

Reescribe $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.8.2

Resta $r$ de $- 3 r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.9

Resta $3 r^{2}$ de $4 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 4 r - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Paso 6.10

Resta $4 r$ de $- 4 r$ .

$\frac{r^{2} - 8 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$