Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2} \sin (x) + 1 = 0$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2} \sin (x) = - 1$

Paso 2

Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ por $\sqrt{2}$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $\sqrt{2} \sin (x) = - 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sqrt{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 2.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Paso 6.2

El ángulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Paso 8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.3

Combina fracciones.

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Paso 8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Paso 8.4.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Paso 8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 9

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$