Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (2 x^{2} + 2) - \log_{3} (x + 3) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 2}{x + 3}) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2}{x + 3}) = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x + 3}) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 (x^{2} + 1) = 3^{0} (x + 3)$

Paso 4

Simplifica $3^{0} (x + 3)$ .

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Paso 4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = 1 (x + 3)$

Paso 4.2

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = x + 3$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (x^{2} + 1) - x = 3$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 - x = 3$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 2 - x = 3$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - x = 3 - 2$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$2 x^{2} - x = 1$

Paso 7

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Paso 8.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 10

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 11

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 11.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Forma decimal:

$x = - 0.5, 1$