Álgebra Ejemplos

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = r$ y $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ por $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4.2

Eleva $r - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4.3

Eleva $r - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ por $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $r$ .

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.7

Expande $(- 4 r - 1) (r + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.1.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.1.1.1

Mueve $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8.1.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8.1.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8.1.3

Reescribe $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.8.2

Resta $r$ de $- 12 r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.9

Resta $4 r^{2}$ de $5 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Paso 6.10

Resta $13 r$ de $- 15 r$ .

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$