Álgebra Ejemplos

$2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 \cos (x)$ .

$2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2 = 0$

Paso 1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$2 \cos^{2} (x) + (- 1 + 4) \cos (x) - 2 = 0$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 4 \cos (x) - 2 = 0$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos^{2} (x) - 1 \cos (x) + 4 \cos (x) - 2 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\cos (x) (2 \cos (x) - 1) + 2 (2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (x) - 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

Paso 3

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 3.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 3.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 3.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 3.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 3.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 3.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 3.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Establece $\cos (x) + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\cos (x) + 2$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\cos (x) + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 2$

Paso 4.2.2

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$