Álgebra Ejemplos

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} = 80$

Paso 1

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2

Simplifica ${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(2 x - 5) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.3.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe ${(x - 6)}^{2}$ como $(x - 6) (x - 6)$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - ((x - 6) (x - 6)) - 80 = 0$

Paso 2.1.5

Expande $(x - 6) (x - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Paso 2.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Paso 2.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Paso 2.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Paso 2.1.6.1.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 80 = 0$

Paso 2.1.6.2

Resta $6 x$ de $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 12 x + 36) - 80 = 0$

Paso 2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 36 - 80 = 0$

Paso 2.2

Resta $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25 + 12 x - 36 - 80 = 0$

Paso 2.3

Suma $- 20 x$ y $12 x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 25 - 36 - 80 = 0$

Paso 2.4

Resta $36$ de $25$ .

$3 x^{2} - 8 x - 11 - 80 = 0$

Paso 2.5

Resta $80$ de $- 11$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 91 = - 273$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 8$ como $13$ más $- 21$

$3 x^{2} + (13 - 21) x - 91 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 13 x - 21 x - 91 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 13 x) - 21 x - 91 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 13) - 7 (3 x + 13) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 13$ .

$(3 x + 13) (x - 7) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 13 = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 5

Establece $3 x + 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x + 13$ igual a $0$ .

$3 x + 13 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x + 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 13$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 13$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 13$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 13}{3}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{13}{3}$

Paso 6

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 13) (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Forma decimal:

$x = - 4.\overline{3}, 7$

Forma de número mixto:

$x = - 4 \frac{1}{3}, 7$