Álgebra Ejemplos

$\sqrt{6 + 5 x} + \sqrt{3 x + 4} = 2$

Paso 1

Resta $\sqrt{3 x + 4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{6 + 5 x} = 2 - \sqrt{3 x + 4}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{6 + 5 x}}^{2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 + 5 x}$ como ${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 + 5 x)}^{1} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$6 + 5 x = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$ como $(2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$ .

$6 + 5 x = (2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + 5 x = 2 (2 - \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + 5 x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 + 5 x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 + 5 x = 4 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 1 \sqrt{3 x + 4} \sqrt{3 x + 4}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3 x + 4}$ por $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + \sqrt{3 x + 4} \sqrt{3 x + 4}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{3 x + 4}$ a la potencia de $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1} \sqrt{3 x + 4}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{3 x + 4}$ a la potencia de $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1} {\sqrt{3 x + 4}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{3 x + 4}}^{2}$ como $3 x + 4$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 4}$ como ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 4$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $4$ y $4$ .

$6 + 5 x = 8 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x$

Paso 3.3.1.3.3

Resta $2 \sqrt{3 x + 4}$ de $- 2 \sqrt{3 x + 4}$ .

$6 + 5 x = 8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x$

Paso 4

Resuelve $- 4 \sqrt{3 x + 4}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x$ .

$8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 4 \sqrt{3 x + 4}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x - 8$

Paso 4.2.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 6 + 5 x - 8 - 3 x$

Paso 4.2.3

Resta $8$ de $6$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 5 x - 2 - 3 x$

Paso 4.2.4

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 2 x - 2$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4 \sqrt{3 x + 4})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 4}$ como ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(3 x + 4)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$16 (3 x + 4) = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (3 x) + 16 \cdot 4 = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 x + 16 \cdot 4 = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$48 x + 64 = {(2 x - 2)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(2 x - 2)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(2 x - 2)}^{2}$ como $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$48 x + 64 = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(2 x - 2) (2 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$48 x + 64 = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$48 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$48 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Paso 6.3.1.3.2

Resta $4 x$ de $- 4 x$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 48 x + 64$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $48 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 8 x + 4 - 48 x = 64$

Paso 7.2.2

Resta $48 x$ de $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 56 x + 4 = 64$

Paso 7.3

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 56 x + 4 - 64 = 0$

Paso 7.4

Resta $64$ de $4$ .

$4 x^{2} - 56 x - 60 = 0$

Paso 7.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 56 x - 60$ .

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Paso 7.5.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 56 x - 60 = 0$

Paso 7.5.1.2

Factoriza $4$ de $- 56 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 14 x) - 60 = 0$

Paso 7.5.1.3

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$4 x^{2} + 4 (- 14 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 7.5.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 14 x)$ .

$4 (x^{2} - 14 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 7.5.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 14 x) + 4 \cdot - 15$ .

$4 (x^{2} - 14 x - 15) = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza.

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Paso 7.5.2.1

Factoriza $x^{2} - 14 x - 15$ con el método AC.

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Paso 7.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 15, 1$

Paso 7.5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((x - 15) (x + 1)) = 0$

Paso 7.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 15) (x + 1) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.7

Establece $x - 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.7.1

Establece $x - 15$ igual a $0$ .

$x - 15 = 0$

Paso 7.7.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 15$

Paso 7.8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 15) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 15, - 1$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{6 + 5 x} + \sqrt{3 x + 4} = 2$ sea verdadera.

$x = - 1$