Álgebra Ejemplos

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Paso 1

Simplifica $3 x (x + 1)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Paso 1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Paso 1.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x (x + 5)$

Paso 2

Simplifica $x (x + 5)$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 x \leq x \cdot x + x \cdot 5$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + x \cdot 5$

Paso 2.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + 5 x$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} \leq 5 x$

Paso 3.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} - 5 x \leq 0$

Paso 3.3

Resta $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 5 x \leq 0$

Paso 3.4

Resta $5 x$ de $3 x$ .

$2 x^{2} - 2 x \leq 0$

Paso 4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} - 2 x = 0$

Paso 5

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 2 x = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 1) = 0$

Paso 5.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (x - 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 7

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 8

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$3 (- 2) ((- 2) + 1) \leq (- 2) ((- 2) + 5)$

Paso 11.1.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $- 6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

$3 (0.5) ((0.5) + 1) \leq (0.5) ((0.5) + 5)$

Paso 11.2.3

$2.25$ del lado izquierdo es menor que $2.75$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$3 (4) ((4) + 1) \leq (4) ((4) + 5)$

Paso 11.3.3

$60$ del lado izquierdo es mayor que $36$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 1$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 \leq x \leq 1$

Notación de intervalo:

$[0, 1]$

Paso 14