Álgebra Ejemplos

$16 x^{2} - 4 y^{2} = 12 y - 16 x + 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 1.1

Resta $12 y$ de ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y = - 16 x + 1$

Paso 1.2

Suma $16 x$ a ambos lados de la ecuación.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y + 16 x = 1$

Paso 1.3

Mueve $- 12 y$ .

$16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$

Paso 2

Completa el cuadrado de $16 x^{2} + 16 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = 16$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 16}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (16)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{16}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$d = \frac{8 (1)}{16}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $16^{2}$ y $16$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Factoriza $16$ de $16^{2}$ .

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Factoriza $16$ de $4 \cdot 16$ .

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{16}{4}$

Paso 2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4}$

Paso 2.4.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 2.4.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 2.4.2.1.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$

Paso 3

Sustituye $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ por $16 x^{2} + 16 x$ en la ecuación $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 - 4 y^{2} - 12 y = 1$

Paso 4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} - 12 y = 1 + 4$

Paso 5

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2} - 12 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = - 12$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 4)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 6}{- 4}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $- 4$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 6$ .

$d = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 16}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $144$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 9$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Paso 5.4.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$e = 9$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ .

$- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$

Paso 6

Sustituye $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ por $- 4 y^{2} - 12 y$ en la ecuación $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9 = 1 + 4$

Paso 7

Mueve $9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 + 4 - 9$

Paso 8

Simplifica $1 + 4 - 9$ .

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Paso 8.1

Suma $1$ y $4$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 5 - 9$

Paso 8.2

Resta $9$ de $5$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - 4$

Paso 9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 4$

Paso 10

Divide cada término por $4$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{16 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4} + \frac{4 {(y + \frac{3}{2})}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$