Álgebra Ejemplos

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Paso 1.1.1.3.2.3

Multiplica $0 (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 1.1.1.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Paso 1.1.1.3.2.3.2

Multiplica $0$ por $- 3$ .

$d = 0$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

Paso 1.1.1.4.2.1.5

Multiplica $0 (- \frac{3}{4})$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

Paso 1.1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $0$ por $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

Paso 1.1.1.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $\frac{4}{3}$ y $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 1.5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Paso 1.5.3.4

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{7}{12})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{25}{12}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{12}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{12}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

Paso 2.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

Paso 2.2.3.2

Divide $3$ por $3$ .

$f (- 1) = 1$

Paso 2.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

Paso 2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Paso 2.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

Paso 2.5.3.2

Divide $0$ por $3$ .

$f (- 2) = 0$

Paso 2.5.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

Paso 2.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Paso 2.8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.3.1

Suma $- 1$ y $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

Paso 2.8.3.2

Divide $3$ por $3$ .

$f (1) = 1$

Paso 2.8.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Paso 2.11.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

Paso 2.11.3.2

Divide $0$ por $3$ .

$f (2) = 0$

Paso 2.11.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{4}{3})$

Foco: $(0, \frac{7}{12})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Paso 4