Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 2 x^{2} > 15 x$

Paso 1

Resta $15 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x > 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 15 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 15 x = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $- 15 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 15$ .

$x (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 3.2

Factoriza.

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5, - 3$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} - 2 {(- 6)}^{2} > 15 (- 6)$

Paso 10.1.3

$- 288$ del lado izquierdo no es mayor que $- 90$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} > 15 (- 2)$

Paso 10.2.3

$- 16$ del lado izquierdo es mayor que $- 30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} > 15 (2)$

Paso 10.3.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $30$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{3} - 2 {(8)}^{2} > 15 (8)$

Paso 10.4.3

$384$ del lado izquierdo es mayor que $120$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < 0$ o $x > 5$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 3 < x < 0 or x > 5$

Notación de intervalo:

$(- 3, 0) \cup (5, \infty)$

Paso 13