Álgebra Ejemplos

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

Paso 1.2

Resta $\sin (θ)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

Paso 2

Simplifica $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ .

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Paso 2.1

Reordena $2 \cos^{2} (θ)$ y $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $- 2$ de $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $- 2$ de $2 \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Paso 2.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Paso 2.5

Aplica la identidad pitagórica.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Paso 3

Resuelve $θ$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Sea $u = \sin (θ)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $\sin (θ)$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $u$ de $- 2 u^{2} - u$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $u$ de $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $u$ de $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 3.3

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 3.3.1

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $\sin (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 3.3.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (0)$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 3.3.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - 0$

Paso 3.3.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$θ = π$

Paso 3.3.2.5

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 3.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.3.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.3.2.6

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.4

Establece $- 2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 3.4.1

Establece $- 2 \sin (θ) - 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (θ) = 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (θ) = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $\sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 3.4.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 3.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Paso 3.4.2.5

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 3.4.2.6

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.4.2.6.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 3.4.2.6.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 3.4.2.7

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

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Paso 3.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.4.2.8

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.4.2.8.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{6}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Paso 3.4.2.8.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.4.2.8.3

Combina fracciones.

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Paso 3.4.2.8.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 3.4.2.8.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 3.4.2.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.8.4.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Paso 3.4.2.8.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Paso 3.4.2.8.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Paso 3.4.2.9

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$