Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \div \frac{x + 6}{36 - x^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 40 x + 96$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3.1.2

Factoriza $4$ de $- 40 x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) + 4 (- 10 x) + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $96$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 10 x)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x + 24)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 10 x + 24$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 6, - 4$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 ((x - 6) (x - 4))} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{5^{2} - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 5$ y $b = x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 5}{4 (x - 6)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{x + 5}{4 (x - 6)}$ por $\frac{3}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((5 + x) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x + 5$ y $5 + x$ .

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Paso 5.3.1

Reordena los términos.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x + 6}$

Paso 6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 6$ y $b = x$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x + 6}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $6 + x$ y $x + 6$ .

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Paso 7.1.1

Reordena los términos.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Paso 7.1.3

Divide $6 - x$ por $1$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} (6 - x)$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)}$ por $6 - x$ .

$\frac{3 (6 - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $6 - x$ y $x - 6$ .

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Paso 7.3.1

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - (x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6 + x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3.4

Reordena los términos.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Paso 7.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{4 (5 - x)}$

Paso 8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{4 (5 - x)}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{4 (5 - x)}$