Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Paso 2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 8

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 9.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 4$

Paso 11

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

Paso 12

Consolida las soluciones.

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

Paso 13

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

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Paso 13.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x$

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Paso 13.2.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 13.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 13.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Paso 13.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 13.2.3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 13.2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 13.2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 13.2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 13.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 1, - 4$

Paso 13.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 14

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Paso 15

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 15.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 15.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

Paso 15.1.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 15.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

Paso 15.2.3

$- 1.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.3

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 15.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

Paso 15.3.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 15.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 15.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 15.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

Paso 15.4.3

$0.375$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 15.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 16

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x < - 1$ o $- 1 < x \leq 1$

Paso 17

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

Notación de intervalo:

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

Paso 18