Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log_{5} (\frac{25}{x}) - \log_{5} (x) = 4$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{\frac{25}{x}}{x}) = 4$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\log_{5} (\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}) = 4$

Paso 4

Multiplica $\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{25}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Paso 4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{5} (\frac{25}{x^{1 + 1}}) = 4$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$

Paso 5

Reescribe $\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{25}{x^{2}}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$

Paso 6.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 625$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $\frac{25}{x^{2}} = 625$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $\frac{25}{x^{2}} = 625$ por $x^{2}$ .

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Paso 6.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$25 = 625 x^{2}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $625 x^{2} = 25$ .

$625 x^{2} = 25$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $625 x^{2} = 25$ por $625$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $625 x^{2} = 25$ por $625$ .

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.1

Cancela el factor común de $625$ .

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Paso 6.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{625}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.3.1

Cancela el factor común de $25$ y $625$ .

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Paso 6.5.2.3.1.1

Factoriza $25$ de $25$ .

$x^{2} = \frac{25 (1)}{625}$

Paso 6.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.5.2.3.1.2.1

Factoriza $25$ de $625$ .

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Paso 6.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Paso 6.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Paso 6.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Paso 6.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Paso 6.5.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Paso 6.5.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Paso 6.5.4.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.5.4.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 6.5.4.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Paso 6.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{1}{5}$

Paso 6.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{1}{5}$

Paso 6.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{5}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{5}$

Forma decimal:

$x = 0.2$