Álgebra Ejemplos

$y = 2 \sqrt{x + 7}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 2 \sqrt{y + 7}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $2 \sqrt{y + 7} = x$ .

$2 \sqrt{y + 7} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 \sqrt{y + 7} = x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 \sqrt{y + 7} = x$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\sqrt{y + 7}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 7} = \frac{x}{2}$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 7 = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$y + 7 = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Paso 2.4.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y + 7 = \frac{x^{2}}{4}$

Paso 2.5

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{{(2 \sqrt{x + 7})}^{2}}{4} - 7$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{x + 7}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ como $x + 7$ .

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Paso 4.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Paso 4.2.3.1.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Paso 4.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Paso 4.2.3.2.2

Divide $x + 7$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 7 - 7$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 7 - 7$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{4} - 7)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{(\frac{x^{2}}{4} - 7) + 7}$

Paso 4.3.3

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 0}$

Paso 4.3.4

Suma $\frac{x^{2}}{4}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4.3.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.6

Reescribe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ es la inversa de $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$