Álgebra Ejemplos

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ como ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Paso 3.2

Resta $81$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Paso 3.3

Resta $81$ de $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Paso 3.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $4$ de $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $4$ de $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza.

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 3.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 3.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Paso 3.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3.6

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 3.7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 3$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Paso 5.1.3

$15$ del lado izquierdo es mayor que $9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Paso 5.2.3

$3$ del lado izquierdo es menor que $9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Paso 5.3.3

$13$ del lado izquierdo es mayor que $9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x \geq 6$

Paso 7

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Paso 8